Информация Функции, производные и интегралы

[Vintik]

I. Введение

Я уже писал несколько математических статей (например, о тригонометрии) на форуме, которые могут быть полезны как для общего развития, так и для создания скриптов, модов и прочего.
@chromiusj, твой экзамен по производным уже, вероятно, прошёл, но лучше поздно, чем никогда. В сегодняшней статье обсудим функции, их производные и интегралы, а также отвечу на вопрос "а для чего это нужно".

II. Функция

В школе не дают строгое определение функции, говорят "функция — это правило, по которому одно число превращают в другое" (тем самым просто подменяют слово "функция" словом "правило", фактически ничего не определяя). В университете определение функции даётся на дисмате, его я вам и объясню в нескольких шагах.

1) Пара чисел — пара, образованная из 2 чисел, она записывается как (a, b), например (13, 37). Две пары считаются равными, если их первые числа равны и вторые числа равны, то есть (a, b) = (c, d) <=> a = c И b = d. Порядок чисел для пары важен, поэтому (13, 37) ≠ (37, 13).
2) Множество — это набор элементов (в нашем случае чисел и пар чисел, но необязательно), для которого неважны количество повторений одних и тех же элементов и их порядок. Иными словами { 1, 2, 3 } — это числовое множество, при этом { 2, 1, 3 } — это то же самое множество, как и { 1, 2, 2, 3 }. То есть для множества важно лишь то, какие объекты в нём есть, а каких нет (а порядок или количество повторений не влияют на множество). Мы будем работать в большинстве своём с бесконечными множествами (например, множество чётных положительных чисел: { 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... }).

Теперь мы можем сделать множество пар: { (1, 2), (2, -5), (3, 3) }. Назовём первые числа каждой пары X ("исками"), а вторые — Y ("игреками"). Мы можем представить, что каждая пара — это точка на графике (ось X — горизонтальная, а Y — вертикальная), и расставить все эти точки:

Такое множество пар задаёт функцию. У функции есть аргумент (либо несколько — аргументы, но мы не будем разбирать этот вариант) и значение. Когда мы пишем f(1) = 2 — это означает, что при аргументе 1 у нас получается значение 2. Каждая пара множества — это аргумент (первое число в паре) и соответствующее этому аргументу значение (второе число в паре).

Важно отметить, что не любое множество пар чисел задаёт функцию. Нам нужно, чтобы у нас не было пар, где одинаковые X и разные Y. Например, множество { (1, 2), (1, 3) } не может быть функцией потому, что одновременно два значения при одном аргументе: f(1) = 2 и f(1) = 3, а нам нужно, чтобы значение функции было одним. При этом наоборот может быть: f(1) = 3 и f(2) = 3 — тут нет никакой проблемы (множество будет таким: { (1, 3), (2, 3) }).

Вот и определение функции (упрощённо): множество пар чисел таких, что нет двух пар с одинаковыми первыми числами и разными вторыми.
А на графике выше видно, почему нам неважен порядок элементов (пар чисел) — у нас просто есть точки, у них нет никакого порядка, да он тут и не нужен. И то, сколько раз мы закрасим точку (одну и ту же пару чисел) — тоже не имеет значения: она либо тут есть, либо её тут нет, и всё.

На практике мы не будем записывать функции в виде множеств, потому что для бесконечных множеств такая запись не подходит, но просто надо держать факт в голове "функция — множество пар чисел".
Представим, что у нас есть функции: f(x) = x + 2 и g(y) = y + 2.
Это означает, что у нас f(1) = 3, f(2) = 4, f(3) = 5, ... (и так далее)
Или, в переводе на язык множеств, f = { (1, 3), (2, 4), (3, 5), ... }. Ровно точно такое же множество будет для функции g(y).
Именно поэтому функции f и g у нас равны. Нам неважно, какую буквочку ("x" или "y") мы туда подставили, эта буквочка нужна только для упрощённого описания функции. Ведь графики обеих функций (f и g) будут одинаковыми — это важный момент.

Поэтому в дальнейшем я буду рассматривать функции как графики, на которых нарисованы точки. Горизонтальная ось — это ось аргументов функции (т.е. для функции f(x) это будет "x", для функции g это будет "y"), а вертикальная ось — это сами значения при таких аргументах (в нашем случае — "f" или "g").

Область определения — это те значения аргумента, которые мы можем подставлять в нашу функцию.
Область значения — это те значения функции, которые мы можем получить (подставляя разные аргументы).

То есть для функции f(x) = 1 / x область определения — все числа, кроме 0 (потому что делить на ноль нельзя).
А для функции f(x) = x² область значения — все числа, которые больше либо равны 0 (потому что "минус" на "минус" даёт плюс, а значит число при умножении на себя не может никогда дать отрицательный результат, а значит числа < 0 мы получить никак не сможем).

III. Предел функции

Предел (limit, по англ. сокр. lim) — это значение функции, к которой она стремится в какой-то точке (при каком-то значении аргумента). Представьте себе такую функцию:

Задача — посчитать значение в точке x = 1. В итоге мы, если мы будем подставлять x = 1, то получаем:

И посчитать значение "в лоб" невозможно. И тут возникает задача посчитать значение, к которому стремится эта функция, то есть она всё ближе и ближе подходит к какому-то числу — и вот это число и называется пределом функции в точке.

У предела есть формальное определение, но оно не говорит нам как его считать, а оно говорит нам как проверить, является ли число пределом. Давайте рассмотрим картинку:

1) Я предполагаю, что в точке a пределом функции f(x) будет значение A. Откуда взялось A — это другой вопрос, пока что давайте пропустим его.
2) Я выбираю любой (вообще меня интересуют очень маленький) промежуток значений функции вокруг точки A: на картинке это [A - ε; A + ε].
3) Я говорю, что если моё предположение верно (то есть A это реальный предел) — то я всегда (для любого промежутка, то есть для любого ε) смогу найти промежуток аргументов вокруг точки a такой, что все значения нашей функции в нём будут попадать в промежуток, выбранный во 2 пункте — и на картинке это промежуток [a - ẟ; a + ẟ].
При этом я не беру во внимание значения в самой точке. Когда я говорю про промежуток — то я имею ввиду все значения вокруг точки.

Значит, краткий итог:
1) Выбираю A;
2) Выбираю любой ε;
3) Пытаюсь найти ẟ, если получается — значит А действительно предел.
Примечание: промежуток аргументов, который я выбираю в пункте 3 ([a - ẟ; a + ẟ]), должен охватывать как область справа от точки a, так и область слева от неё.

Так как я выбираю любой ε (то есть даже очень малый, например, 0.0001) — это означает, что наша функция в нашей точке подходит очень близко к пределу, бесконечно близко. А это означает, что даже если в самой точке мы не знаем значение (не можем посчитать) — то предел подсказывает каким оно должно быть, чтобы у нас не было "прыжка" в функции.

Отдельно отмечу, что предела может и не быть, такая ситуация весьма часто бывает. Например, в функции Дирихле (равна 1 в рациональных точках и 0 в иррациональных) нет предела ни в одной точке, потому что на любом выбранном промежутке аргументов у нас будут как попадаться 1, так и 0 (а значит мы можем выбрать ε, например, 0,5 — и показать, что ни значение 1, ни 0 не могут быть пределом никогда).

IV. Непрерывная функция

Непрерывная функция — это та, график которой можно нарисовать, не отпуская руку (если говорить очень просто). Функция может быть непрерывной на каком-то отдельно взятом участке (например, она может быть непрерывная на участке от 2 до 7). Вот пример функции, которая непрерывна на участке x > 0 и x < 0, но при этом не является непрерывной для всех чисел:

Теперь перейдём к формальному определению непрерывности. Непрерывная функция — это та, у которой в каждой точке её значение равно пределу в этой же точке. Рассмотрим картинку:

На данной картинке в точке x = -1 у нас "прыжок". Если представить, что предел равен 1, то мы не сможем выбрать часть промежутка справа от точки x = -1 такую, чтобы наши значения были близки к 1. А если представить, что предел равен -1, то мы не сможем выбрать часть промежутка слева. В данном случае у функции в точке x = -1 у нас нет предела, а функция — не является непрерывной (прерывистая).

V. Производная функции

Для решения разных задач нам нужно считать максимальное и минимальное значения функции. Часто нам нужно понимать, когда функция возрастает (то есть при увеличении X увеличивается Y, графически: чем правее — тем выше), а когда убывает (наоборот). И для таких задач придумали производную.

Для начала определим касательную к графику функции — это прямая, которая в нужной нам точке касается графика нашей функции, например:

Важно понять, что в одной точке у нас только 1 касательная, если мы её немного повернём — она уже не будет аккуратно касаться функции.

Дальше простая логика. Если функция непрерывная, то мы можем попытаться искать нашу касательную, если касательная направлена вверх — функция возрастает, а если касательная направлена вниз — функция убывает. Как же искать касательную?

Рассмотрим картинку выше. Задача — найти касательную к точке M₀, для этого нарисуем рядом с ней точку M₁, проведём прямую через обе точки (M₀ и M₁). И чем ближе мы двигаем точку M₁ к нашей M₀ — тем больше прямая, которая через них проходит, будет напоминать касательную.
Сперва ответим на вопрос — как мы будем задавать нашу касательную? Мы будем задавать её тангенсом угла α:

Если этот тангенс больше 0 — значит функция возрастает, если равен 0 — значит функция не растёт и не убывает (экстремум, зачастую это точка локального максимума или минимума), а если меньше 0 — значит функция убывает.
И конечно же мы будем считать тангенс в пределе (потому что если мы просто x₁ приравняем к x₀ — то у нас и Δx, и Δy — оба будут равны 0, и получится 0 делить на 0):

Вот это и есть определение производной в точке x₀. Фактически, производная функции — это тоже функция, которая в каждой точке равна тангенсу наклона касательной изначальной функции в этой же точке. Обозначается производная штрихом (например, f'(x)) или записью dy/dx (y — функция, а x — аргумент):

VI. Примеры использования производной

Чего я никогда не любил в школе или вузе — теорию, которая непонятно зачем нужна. Поэтому на данном этапе предлагаю вам несколько типов задач, где нужна производная.

1) Почему спутниковая антенна в форме тарелки?

Как вы знаете, спутник всегда висит в небе над одной точкой. То есть спутник крутится с угловой скоростью Земли, и поэтому для людей, которые стоят на Земле, кажется, что он всегда в одном месте. Антенну направляют на спутник. Дальше вопрос — почему антенна в форме тарелки и что конкретно это за форма?
На самом деле в простейшем варианте это парабола (форма графика y = x²), а особенность этой формы в том, что все лучи "сверху" рикошетят (отражаются от антенны) и приходят в одну точку, в которой уже принимают сигнал. Таким образом большая площадь антенны собирает всё вместе — и передаёт в приёмник, усиливая сигнал:

Давайте это докажем и даже найдём координаты этой точки. Нарисуем параболу и какую-то точку x, проведём вертикально вниз к ней луч, нарисуем касательную и отзеркаленный луч:

φ — это угол касательной, давайте посчитаем его тангенс по определению производной (фактически, найдём производную):

Далее выразим длину отражённого луча (обозначена как l):

Далее посчитаем длину d из треугольника по теореме Пифагора:

И тут мы заметим, что точка, в которую попадают все отражённые лучи, независимо от нашего x — одна и та же, её высота — 1/4:

Напомню, что изначально мы выбрали какую-то точку x, и в итоге высота фиолетовой точки посчиталась так, что x пропал (сократился), а значит она одинаковая для любых x. А значит, что любой луч отразится и попадёт в одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

2) Задача о заборе
Фермер хочет огородить прямоугольный участок земли вдоль реки. Сторона, которая граничит с рекой, в заборе не нуждается. У фермера есть 40 метров забора. Как выбрать размеры участка, чтобы его площадь была максимальной?

Одну сторону назовём x, вторую выразим через x — и задача превращается в нахождение x, при котором значение функции будет максимальным. Начнём с графика функции (для решения это необязательно, но для наглядности — очень показательно):

Видим, что при каком-то значении площадь будет максимальная, а потом пойдёт вниз. А верхняя точка уникальна тем, что там производная будет равна 0, так как касательная горизонтальная (т.е. тангенс угла 0). Считаем производную:

Производная равна 40 - 4x, значит она будет равна 0 при x = 10. И это и есть ответ: первая сторона (a) — 10, а вторая (b) — 20.

Я специально не даю задачи с производными, которые сложно считать, но поверье — такие есть.

3) Скорость как производная ускорения
Представьте, что у нас есть зависимость (функция) пройденного пути машины в зависимости от времени, обычно записывается как S(t). И выглядит эта функция вот так:

Вы видите, что в начале пройденный путь увеличивался (то есть машина ехала), потом время шло — а пройденный путь оставался таким же (машина стояла), а в конце — начало увеличиваться ещё сильнее (машина ехала быстрее).
А по такому графику весьма очевидно, что чем больше угол наклона на каком-то участке — тем больше скорость машины на этом участке. Фактически, скорость — это производная пройденного пути. Давайте вспомним простейшую формулу скорости:

И эта формула прекрасно работает в случае, если в течение всего времени скорость была одна и та же — постоянная, но теперь ситуация сложнее — скорость меняется с течением времени. Давайте выпишем новую формулу и сравним её со старой:

Формула очень похожая, только добавляется значок Δ, который означает изменение пройденного пути и времени, а на весь пройденный путь и время. То есть это та же формула, только S и t считаются на маленьком участке, чтобы получить не общую (среднюю) скорость, а текущую прямо в этот момент.

На практике это означает, что есть зависимость пройденного пути от времени равна какой-то функции S(t), то для нахождения скорости — нам нужно взять производную (S'(t)) и посчитать значение производной в нужный момент времени t.

И скорость — это далеко не единственная такая величина. В физике таких величин много, вот список основных:
V(t) = S'(t) — скорость это производная пройденного пути
a(t) = V'(t) — ускорение это производная скорости (фактически, ускорение = скорость изменения скорости, иногда так называют)
ω(t) = φ'(t) — угловая скорость это производная угла поворота
β(t) = ω'(t) — угловое ускорение это производная угловой скорости
F(t) = P'(t) — сила это производная импульса, придаваемого телу этой силой
P(t) = A'(t) = E'(t) — мощность это производная проделанной работы или выделенной энергии
I(t) = q'(t) — электрический ток это производная электрического заряда, получаемо этим током
ε(t) = -Φ(t) — ЭДС индукции это производная магнитного потока
Общий принцип: производной величины, описывающей накопленное количество (путь, заряд, работа, энергия, угол, импульс и т.д.), по времени является скорость изменения этого количества.

VII. Интеграл

Если кратко — то интеграл это операция, обратная к взятию производной (дифференцированию):

Стоит объяснить, что такое dx. Вообще это "дифференциал икс", но на данном этапе вполне справедливо можно считать это просто обозначением буквы, которая является аргументом функции: у нас функция "от икс", значит пишите "dx", если функция от "y" (например, g(y)) — пишите "dy".
Теперь немного о + C (ребята, это не +С из сампа). Всё дело в том, что это самое + C в функции влияет лишь на то, насколько высоко или низко будет функция, сравните f(x) = sin(x) и f(x) = sin(x) + 5 (вместо 5 любая цифра):

При этом углы наклона касательной остаются те же, поэтому если вы будете считать производные обеих функций — они будут одинаковыми. Так вот, когда мы хотим из производной получить изначальную функцию, то мы не знаем, насколько высоко или низко она была — поэтому пишем + C, подразумевая что вместо C может быть любое число.

Методы вычисления интеграла (замена переменной, интегрирование по частям и т.д.) — это просто перевёрнутые задом наперед методы вычисления производной. В рамках этой статьи я не буду рассказывать о том, как считать производную, потому что это большая и длинная лекция, на данном этапе я просто поверхностно объясняю суть математических инструментов.
Отмечу, что для любой функции (какую вы только можете себе придумать) посчитать производную можно (ну либо сказать, что у неё нет производной). С интегралом тяжелее — есть очень много так называемых "нерешаемых" интегралов, где красиво выразить ответ не получается, а лишь в некоторых точках посчитать его значения.

Зачем нужен интеграл? Откуда может возникнуть задача считать функцию, если ты знаешь её производную?
И самый основной ответ — дифуры и площадь. Начнём с простого — с площади.
Представьте, что у вас есть какая-то функция. S(x) — это площадь под графиком от 0 до x. Теперь попробуем связать нашу функцию f(x) и площадь под её графиком S(x):

Мы можем заметить, что площадь между x и a — это разность S(a) - S(x) (т.е. от площадь от 0 до a отнимаем площадь от 0 до x). Представьте, что у нас на всём промежутке от x до a значения такие же, как максимальное значение на этом промежутке — и тогда получившуюся площадь назовём максимальной (на картинке она отмечена верхней серой линией). А теперь представьте, что у нас все значения такие же, как минимальное значение на этом промежутке — и тогда получившуюся площадь назовём минимальной (на картинке она отмечена нижней серой линией). Мы видим, что реальная площадь между минимальной и максимальной (и так всегда, не только для такой картинки).
Но так как наша функция непрерывная (то есть значения пробегают все числа от минимального до максимального) — то где-то есть некое число (назовём его c) такое, что площадь прямоугольника с высотой c будет равна нашей площади:

Представьте, что мы нашли такое c (и это c всегда есть), что две синих части равны по площади — а значит наша площадь между x и a равна площади f(c) * (a - x):

Если функции равны — то и предел в какой-то точке (в данном случае в точке x) у них будет одинаковый. И тут мы видим, что f(x) = S'(x), то есть наша функция — это производная функции площади. А значит чтобы найти площадь — нам надо считать интеграл, и отнять от значения в конце интервала значение в начале интервала (пусть S(x) = ∫ f(x) dx, тогда S(от a до b) = S(b) - S(a)).

Кому такие рассуждения не кажутся очевидными, предлагаю более интуитивный вариант, будем напрямую пытаться посчитать площадь под производной, разбивая функцию на мелкие кусочки равной длины:

Чему равна производная на первом кусочке?

А чему равна площадь под этим кусочком графика производной? По сути, это значение (высота) умножить на длину (считаем, что кусочек настолько маленький, что производная у него на всём кусочке постоянная, т.е. не меняется — и тогда мы можем применить обычную формулу площади прямоугольника):

Итого площадь под графиком производной (не под этим графиком!) — это просто f(x₂) - f(x₁). А для площади всех кусочков:

Мы видим, что это просто разница значения функции в конце и значения функции в начале, тот же результат, что и в абзаце выше.

VIII. Задачи на интегрирование

Очень часто вы сталкиваетесь с задачами, где нужно интегрировать. На самом деле все эти задачи сводятся к нахождению площади под графиком функции. Я не знаю как объяснить отличительную особенность этих задач, но предлагаю вам решить одну — и вы всё почувствуете (наверное 😀).

Вычисление объёма шара
Типичная геометрическая задача. Как вычислить объём шара? Давайте рассмотрим рисунок:

Идея заключается в том, чтобы делить шар на слайсы (цилиндры) — и суммировать их площадь. Чем больше слайсов — тем точнее результат. А потом мы применим предел (lim), устремив их количество к бесконечности — чтобы получить точный результат.
Начнём с простого, объём цилиндра (кажется, что тут формула очевидна, но если вы считаете, что она требует доказательства — вы сможете получить её тоже через интеграл):

Понятное дело, что мы можем разбивать наш шар на цилиндры разной высоты — в итоге вычисления будут явно сложнее, но результат получится тот же. Давайте не будем вставлять палки в колёса, и считать, что высота всех цилиндров одинаковая. И так, объём будет считаться по следующей формуле:

Мы видим сумму значений, умноженную на высоту (h). Высота очень напоминает Δx, и формула становится очень похожей на вычисление площади "по кусочкам", взгляните:

Попробуем подобрать функцию так, чтобы площадь под ней была равна объёму шара.
Обратите внимание, что Δx — это разность между соседними x (например, между x₂ и x₃), то есть разность двух соседних аргументов функции. В нашей формуле объёма вместо Δx у нас h, поэтому h должно быть разностью двух соседних аргументов функции. Значит аргументом нашей функции должна быть высота, а значением функции — то, на что умножается высота, то есть площадь:

Вот наша функция, которую мы будем интегрировать (S(x)). Радиус шара (R) — это константа. Значит функция зависит от высоты над центром — x. И нам нужно просуммировать все слайсы: от самого нижнего (x = -R) до самого верхнего (x = R). Давайте начнём с нахождения интеграла:

И теперь вспоминаем, что нас интересует площадь от -R до R. Давайте в получившейся функции вычислим значения в обеих точках — и посчитаем разность:

И так, получившийся ответ — 4πR³ / 3. Сравниваем с Интернетом — это верная формула.

IV. Дифференциальное уравнение (дифур)

soon...

 

[chromiusj]

на самом деле подобное обсуждение круто, особенно если есть желание вникнуть в это,т.к после базовых интегрирований,и дифференциации уравнений приходят всякие интересные методы решения по типу тригонометрических подстановок, задач коши и тп